마코프 체인

마코프 체인(Markov Chain)은 러시아 수학자인 안드레이 마코프(Andrey Markov)가 1906년에 개발한 확률 모델로, 연속적인 사건들 간의 상호 작용을 분석하는 데 사용됩니다. 마코프 체인은 특정 상태에서 다음 상태로 전이하는 과정이 현재 상태에만 의존하고, 이전의 상태나 미래의 상태는 영향을 미치지 않는다는 마코프 속성을 기반으로 합니다. 즉, 마코프 체인은 기억 상실성 또는 무기억성의 특성을 가지고 있습니다.

서리 내린 체인

1. 기원

안드레이 마코프는 통계적 독립성과 무관한 사건들을 연구하던 중, 연속적인 사건들이 서로 상호작용할 때 어떻게 전개될 수 있는지를 설명하기 위해 마코프 체인을 고안했습니다. 당시 그의 연구는 시계열 분석, 확률론, 통계학 등 다양한 분야에서 발전하여 이후 수학, 물리학, 경제학, 생물학, 인공지능 등에서 널리 응용되었습니다.

2. 마코프 체인의 이론적 배경

마코프 체인은 이산 확률 과정의 한 종류로, 상태(state)라는 개념을 기반으로 여러 상태 간의 전이(transition)를 다룹니다. 이 체인은 상태들의 집합과 상태들 간의 전이 확률로 구성됩니다.

• 상태 (State): 마코프 체인은 여러 상태들로 이루어지며, 시스템이 특정 시점에 존재하는 위치를 의미합니다.
• 전이 확률 (Transition Probability): 한 상태에서 다른 상태로 전이될 확률을 의미하며, 이 확률은 현재 상태에만 의존합니다. 이를 통해 다음 상태로 이동하는 패턴을 결정합니다.
• 상태 전이 행렬 (Transition Matrix): 각 상태에서 다른 상태로 전이할 확률들을 행렬 형태로 나타낸 것입니다. 모든 상태 간의 전이 확률을 시각적으로 확인할 수 있습니다.

3. 마코프 속성 (Markov Property)

마코프 체인의 핵심은 마코프 속성에 있습니다. 마코프 속성은 다음 상태로의 전이가 오로지 현재 상태에만 의존하고, 이전 상태나 그 이전의 모든 상태는 전이 과정에 영향을 미치지 않는다는 점입니다. 이를 수식으로 표현하면:

P(Xn+1=x∣Xn=xn,Xn−1=xn−1,...,X0=x0)=P(Xn+1=x∣Xn=xn)P(X_{n+1} = x | X_n = x_n, X_{n-1} = x_{n-1}, ..., X_0 = x_0) = P(X_{n+1} = x | X_n = x_n)P(Xn+1​=x∣Xn​=xn​,Xn−1​=xn−1​,...,X0​=x0​)=P(Xn+1​=x∣Xn​=xn​)

여기서 XnX_nXn​은 시점 nnn에서 시스템이 있는 상태를 의미합니다.

4. 마코프 체인의 분류

• 이산 마코프 체인 (Discrete Markov Chain): 시간이 이산적(discrete)일 때 사용하는 모델입니다. 예를 들어, 주사위를 굴릴 때의 결과나 보드 게임에서의 말의 위치 같은 경우에 적용됩니다.
• 연속 마코프 체인 (Continuous Markov Chain): 시간이 연속적(continuous)인 경우에 사용하는 모델입니다. 이는 물리학에서 입자의 이동, 금융에서 주식 가격의 변화 등을 설명하는 데 사용됩니다.

5. 마코프 체인의 활용

마코프 체인은 다음과 같은 다양한 분야에서 적용됩니다.

• 통계학과 경제학: 마코프 체인은 주식 시장, 경기 순환, 소비자 행동 패턴 등의 분석에 사용됩니다.
• 언어 처리: 자연어 처리에서는 문맥을 예측하는 데 마코프 모델이 활용됩니다. 예를 들어, 단어 시퀀스에서 다음 단어가 무엇인지 예측할 때 마코프 체인이 사용됩니다.
• 생물학: DNA 서열 분석, 단백질 접힘 문제와 같은 생물학적 과정에서도 마코프 체인이 쓰입니다.
• 인공지능: 마코프 의사결정 과정(Markov Decision Process, MDP)은 강화 학습에서 중요한 역할을 하며, 에이전트가 환경과 상호작용할 때 미래 보상을 극대화하는 행동을 선택하는 데 사용됩니다.

6. 마코프 체인의 예

1. 주사위 게임

주사위

 

주사위 게임은 간단한 이산 마코프 체인의 예입니다. 각 주사위를 굴릴 때마다 나온 숫자(1~6)는 이전에 어떤 숫자가 나왔는지와 상관없이 각 숫자가 나올 확률이 동일합니다. 즉, 현재 상태(현재 주사위 눈)만이 다음 상태(다음 주사위 눈)에 영향을 미칩니다.

2. 날씨 예측

날씨 예측 모델에서도 마코프 체인을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 내일의 날씨가 오늘의 날씨에만 의존하고 그 이전 날의 날씨는 영향을 미치지 않는다고 가정할 수 있습니다. 상태는 "맑음", "흐림", "비"와 같은 날씨 조건이고, 각 상태에서 다른 상태로 전이할 확률을 기반으로 다음 날의 날씨를 예측할 수 있습니다.

• 예: 오늘이 "맑음"일 때, 내일이 "맑음"일 확률이 70%, "비"가 올 확률이 20%, "흐림"일 확률이 10%라고 가정할 수 있습니다.

3. 웹 페이지 탐색 (구글의 페이지랭크 알고리즘)

구글의 페이지랭크(PageRank) 알고리즘은 마코프 체인을 활용한 대표적인 예입니다. 웹 페이지들은 서로 하이퍼링크로 연결되어 있으며, 한 페이지에서 다른 페이지로 이동하는 과정을 마코프 체인으로 모델링할 수 있습니다. 사용자가 특정 페이지에 있을 때 다른 페이지로 이동할 확률은 현재 페이지에서 링크된 페이지들에만 의존합니다. 이 전이 확률을 바탕으로 페이지의 중요도를 평가할 수 있습니다.

4. 쇼핑 행동 분석

전자상거래 사이트에서는 사용자의 쇼핑 행동을 마코프 체인으로 모델링할 수 있습니다. 고객이 어떤 제품을 본 후에 다른 제품을 볼 확률, 또는 결제를 할 확률을 분석하여 사용자의 구매 경로를 추적할 수 있습니다. 예를 들어, 사용자가 상품 A를 본 후 상품 B로 이동할 확률과 상품 C로 이동할 확률을 기반으로 고객 행동 패턴을 예측할 수 있습니다.

5. 게임 이론과 마코프 체인

보드 게임, 카드 게임 또는 슬롯 머신과 같은 도박 게임에서도 마코프 체인이 적용될 수 있습니다. 예를 들어, 체스에서 현재 말의 위치 상태가 다음에 이동할 수 있는 가능한 상태들만을 결정하고, 그 이전의 상태는 고려되지 않기 때문에 마코프 체인으로 모델링할 수 있습니다.

 

6. 유전자 서열 분석

생물학 분야에서도 마코프 체인을 사용하여 유전자 서열 분석을 수행할 수 있습니다. DNA나 RNA 서열의 염기서열을 분석할 때, 한 염기가 다음 염기로 전이될 확률이 현재의 염기 상태에만 의존한다고 가정할 수 있습니다. 이를 통해 특정 서열 패턴을 예측하거나 진화 과정을 추적할 수 있습니다.

7. 교통 흐름 예측

교통 흐름

 

교통 흐름을 예측하는 데도 마코프 체인이 활용될 수 있습니다. 예를 들어, 특정 교차로에서 현재 교통 상황이 "원활", "보통", "혼잡"의 상태 중 하나일 때, 다음 시간대의 교통 상태가 현재 상태에만 의존한다고 가정할 수 있습니다. 이를 통해 교통 흐름을 예측하고, 신호 체계를 최적화할 수 있습니다.

8. 강화 학습 (Markov Decision Process, MDP)

인공지능 분야에서 사용되는 강화 학습은 마코프 의사결정 과정(Markov Decision Process, MDP)에 기반하고 있습니다. 에이전트(예: 로봇, 게임 플레이어)가 환경에서 상태를 관찰하고 행동을 취하며, 그 행동의 결과로 보상을 받습니다. 에이전트가 다음에 어떤 행동을 할지 결정할 때, 현재 상태에만 의존하는 마코프 체인이 사용됩니다. 예를 들어, 게임 속 캐릭터가 현재 위치에 따라 다음 움직임을 결정하는 상황이 여기에 해당합니다.

9. 브라운 운동

파도

 

물리학에서 입자의 불규칙한 움직임인 브라운 운동을 마코프 체인으로 모델링할 수 있습니다. 입자는 현재의 위치에만 의존하여 다음 위치로 전이하며, 그 이전의 움직임은 영향을 미치지 않는다는 점에서 마코프 체인의 특성을 가집니다. 이는 입자의 미세한 움직임을 설명하는 데 유용한 모델입니다.

10. 의료 진단

환자의 건강 상태가 연속적으로 변하는 상황을 마코프 체인으로 설명할 수 있습니다. 예를 들어, 환자가 질병의 경미한 상태에서 중간 상태로, 그다음 심각한 상태로 전이할 확률을 분석하는 데 사용됩니다. 각 상태는 환자의 현재 건강 상태를 나타내며, 치료에 따른 상태 변화가 현재 상태에만 의존한다고 가정할 수 있습니다.